主页 > X悠生活 >无理数(irrational number)

无理数(irrational number)


在讨论有理数系如何扩展到实数系时,我们常说有理数虽然密集,但数线上仍然有许多无法用有理数型态 $$q/p$$ 表示的数(其中 $$p,q\in Z$$ 且 $$p\ne 0$$),这些「不是有理数」的数被称做「无理数」,有理数连同无理数,才能圆满地铺满整条数线,成为实数系。然而,对于「不是有理数的数」,也就是说,它不能写成 $$q/p$$。从数学的定义上,当然足够判断何谓无理数。但对初学者来说,利用否定所描述的定义,其实并不直观。也就是说,他无法知道无理数「是」什幺。这篇文章的目的,是尝试从不同的面向给无理数一个说法。

故事仍然要从有理数(rational number)说起,rational的拉丁语源是logos,就是英文的ratio,原来的意思是「比」。也就是说,能够写成两个整数之比的,就叫做有理数。这个概念源自毕氏学派所信奉「数目(mumber)是所有事物的本质」之论点,他们认为数目(这里指的是正整数)是所有现象的基础,例如,行星的运行、音阶的规律都可以用数目的比来表示。

进一步地,毕氏学派将几何与算术关联起来,所以,任何两个线段长之比必然是数目之比。换句话说,必定存在一个共同单位长,使得两者均为这个单位长的整数倍。毕氏学派就称这两个线段是「可公度量的」(commensurable)。然而,毕氏学派稍后也发现正方形的边长与其对角线是「不可公度量的」(incommensurable)。虽然为了保持理论的「完整性」,毕氏学派选择保守秘密。但影响所及,后来的古希腊数学家无法将「数」与「量」统整起来,只好必须分别看待。譬如在欧几里得的《几何原本》中,就可以清楚地看到,其第七册的命题一:「设有不相等的二数,从大数中连续减去小数直到余数小于小数,再从小数中连续减去余数直到小于余数,这样一直作下去,若余数总是量不尽其前一个数,直到最后的余数为一个单位,则该二数互质。」与第十册的命题二:「如果从两不等量的大量中连续减去小量,直到余量小于小量,再从小量中连续减去余量直到小于余量,如此一直作下去,当所余的量永远不能量尽它前面的量时,则两量不可公度。」

这两个命题都涉及「辗转相除法」-事实上,此一方法之英文名称为Euclidean algorithm,只不过其中一个针对「数」的公度问题,另一个则针对「量」。现在,我们要利用第十册的命题二来说明正方形的边长($$a$$)与其对角线 $$(\sqrt{2}a)$$ 为何是「不可公度量的」。

无理数(irrational number)

图一,任意给定一个正方形 $$ABCD$$,我们在对角线 $$\overline{AC}$$ 上取一点 $$F$$,使得 $$\overline{AF}=\overline{AD}$$。
因此 $$\overline{CF}=\overline{AC}-\overline{AF}$$。接着,以 $$F$$ 点为垂足,作 $$\overline{AC}$$ 的垂直线 $$\overline{FE}$$ 交 $$\overline{CD}$$ 于 $$E$$ 点。
考虑 $$\Delta{AFE}$$ 与 $$\Delta{ADE}$$,由于 $$\overline{AE}=\overline{AE}$$,$$\overline{AF}=\overline{AD}$$,$$\angle{ADE}=\angle{AFE}=45^\circ$$,
所以,$$\Delta{AFE}$$ 与 $$\Delta{ADE}$$ 全等(RHS性质)。又 $$\angle{DCA}=45^\circ$$,因此 $$\overline{DE}=\overline{FE}=\overline{CF}$$。
所以 $$\overline{CE}=\overline{CD}-\overline{DE}=\overline{CD}-\overline{CF}$$。

接着,我们考虑正方形 $$CFEG$$。仿上述步骤,在 $$CFEG$$ 中以对角线 $$\overline{CE}$$ 减去边长 $$\overline{CF}$$ 得 $$\overline{CH}$$。边长 $$\overline{CG}$$ 减去 $$\overline{CH}$$ 得 $$\overline{CI}$$。再以 $$\overline{CI}$$ 为对角线, $$\overline{CH}$$ 为边长作出一正方形 $$CHIK$$。重覆这些动作,可以造出一系列的正方形。由于正方形的对角线与边长不相等,每次相减总是无法减尽。因此,我们可以一直重覆做下去,无法停止。因此,正方形的对角线与边长不可公度。换句话说,就是不能写成两个整数之比。既然能写成两个整数之比的,叫做有理数。那幺,无法写成两个整数之比,当然就是无理数(irrational number)了。因此,$$\sqrt{2}$$ 是无理数啰。

参考文献

洪万生,《孔子与数学》,台北:明文书局,1999。苏惠玉,〈从几何面向看$$\sqrt{2}$$〉,《HPM通讯》6(12):6-11。

相关推荐