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複数 (Complex number)

「哪一个数的平方会是 $$-1$$?」一般人的生活经验中根本不会遇到这样子的数,就算是用一般用的计算机,怎幺按也按不出来。不过,确实有这样子的数,我们把平方等于 $$-1$$ 的数记作 $$\sqrt{-1}$$,并用「$${i}$$」来表示 $$\sqrt{-1}$$,即 $$i^2=-1$$,「$$i$$」就称为「虚数单位」。

从此,平方之后等于一个负数的,或是偶数次根号之中为负数的,都可以用「$$i$$」来表示。例如平方之后等于 $$-2$$ 的数就记作 $$\sqrt{-2}$$,则 $$\sqrt{-2}=\sqrt{2}\times\sqrt{-1}=\sqrt{2}i$$,平方就得 $$(\sqrt{2}i)^2={\sqrt{2}}^2\cdot{i}^2=2\cdot(-1)=-2$$。至于在人类历史上,虚数 $$\sqrt{-1}$$ 是怎幺诞生的,在此不多作说明,有兴趣的读者可以参阅陈凤珠的〈虚数 $$\sqrt{-1}$$ 的诞生〉。

有了虚数单位之后,我们就可以将数系从现有的实数系扩充成「複数系」。複数就是可以写成 $$a+bi$$ 的数,其中 $$a,b$$ 均为实数, $$i=\sqrt{-1}$$ , $$a$$ 就称为此複数的实部,$$b$$ 就称为此複数的虚部。由此,先前熟悉的实数(包括正整数、$$0$$、负整数、有理数、无理数)统统可以写成$$a+bi$$的形式,所以实数是複数中的一部分。例如$$1$$,$$0$$,$$-2$$,$$\frac{1}{3}$$,$$\sqrt{5}$$ 分别可写成 $$1+0i$$,$$0+0i$$,$$-2+0i$$,$$\frac{1}{3}+0i$$,$$\sqrt{5}+0i$$。换句话说,複数中虚部为 $$0$$ 的数,就是实数。虚部不为 $$0$$ 的数,如 $$1+2i$$,$$0+\sqrt{3}i$$,$$-2+(-4)i(=-2-4i)$$,$$\sqrt{5}+\sqrt{6}i$$ 统统称为虚数,而其中 $$0+\sqrt{3}i$$ 更为特别,它的实部为 $$0$$,这种实部为 $$0$$ 的虚数,我们给他一个名称,叫作「纯虚数」。複数、实数、虚数、纯虚数的位阶关係,可表示成

複数 (Complex number)

至于複数的四则运算,则和实数的运算略有不同,以 $$a+bi$$ 与 $$c+di$$ 作说明,其中 $$a,b,c,d$$ 均为实数:
(1)加法:$$(a+bi)+(c+di)=(a+b)+(c+d)i$$,即实部加实部,虚部加虚部。
(2)减法:$$(a+bi)-(c+di)=(a-b)+(c-d)i$$,即实部减实部,虚部减虚部。
(3)乘法:$$(a+bi)\cdot(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$$,相当于用乘法分配律展开。
(4)除法:$$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)\cdot(c-di)}{(c+di)\cdot{(c-di)}}=\frac{(ac+bd)+(-ad+bc)i}{c^2+d^2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{-ad+bc}{c^2+d^2}i$$。

遇到複数的四则运算一定要遵照上述的方式才行,若随意照以往的经验便宜行事,那很可能就会和伟大的数学家欧拉(Leonhard Euler,1707~1783)犯同样的错误了。

欧拉曾将 $$\sqrt{-2}\cdot\sqrt{-3}$$ 写成 $$\sqrt{-2}\cdot\sqrt{-3}=\sqrt{(-2)\cdot(-3)}=\sqrt{6}$$,这并不正确,正确的计算应是 $$\sqrt{-2}\cdot\sqrt{-3}=\sqrt{2}i\cdot\sqrt{3}i=(\sqrt{2}\cdot\sqrt{3})\cdot{i}^2=\sqrt{6}\cdot(-1)=-\sqrt{6}$$。

在複数的除法中,我们将分子分母同乘以 $$c-di$$,如此一来分母就变成实数了,这个 $$c-di$$,我们就称为 $$c+di$$ 的「共轭複数」,反过来,$$c+di$$ 也是 $$c-di$$ 的「共轭複数」。用符号来表示的话,$$c+di$$ 的 共轭複数记为 $$\overline{c+di}$$,$$c-di$$ 的共轭複数记为 $$\overline{c-di}$$,故 $$\overline{c+di}=c-di$$,$$\overline{c-di}=c+di$$。

若每次遇到複数就要写成 $$a+bi$$ 的样子,这还挺不方便的,因此,我们常用 $$z$$ 来代表複数。如此一来,複数 $$z$$ 的共轭複数就记为 $$\overline{z}$$。例如 $$z=2+(-3)i=2-3i$$,$$\overline{z}=\overline{2-3i}=2+3i$$。共轭複数还有以下的运算性质,留给读者自行验证。

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